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提起数学，很多人都会觉得瑟瑟发抖。怎么才能学好数学？大家都知道，微积分是一切高级数学的基本功，你翻开一本教课书，讲解微积分要用好几百页。怎样才能学好微积分？不是读万卷书，不是走万里路，而是尽量投机取巧…
出品：”SELF 格致论道讲坛 ” 公众号（ID：SELFtalks）
以下内容为中国科学院院士林群演讲实录：
聊聊各个阶段的数学
林群：各位听众，今天很有幸能跟各位谈论一点有关数学的事情。
数学知识太多了，我们不可能统统掌握，所以只能在众多的数学分支里面，挑选那些最重要的进行学习。
什么是最重要的呢？比如说我们小学学的算术，那是人类几万年智慧的结晶。小学念完念中学，中学是简单的代数，也相当于算术的发展，还有一些初等的几何学，这是人类几千年的智慧结晶，所以我们要学。
中学念完念大学，大学学什么呢？大学主要学微积分和线性代数，这个是人类几百年探索的结果。
总而言之，人类留下的财富需要我们站在巨人的肩膀上来吃透它，消化它。所以我们必须学习，否则就要回到黑暗中重新探讨，那太可怕了。
我想引用哈佛大学数学系教授邱成桐的讲话。听说他经常告诫学生，要学好微积分和线性代数，归根结底一切高级的数学都是微积分和线性代数的各种变化。
所以，我们学习必须有重点，不能够铺开学，太多了，反而学不好。多则少，你想学很多，你得到很少；反过来少则多，如果你学得很少，比如你就学一点小学数学，学一点中学数学，再学一点大学数学，大学数学就是指微积分和线性代数，这些学习内容对我们的一生都是非常有助益的。
我再重复一遍，多则少！大家不要什么都学，不要学得很多，也不要做很多。现在有各种活动吸引我们，但是我觉得对于学习来说，这些只能起到 辅助 的作用。
最重要的还是在课堂上学习，把正课学好。把小学的数学，最简单的算术学好，把中学数学最简单的代数和几何学好，把大学的数学学好，就是把微积分和线性代数学好，这是最重要的。
然后，在接下来的工作中再发展，继续学习，因为学无止境。这是第一点意见，供各位家长和学生参考。
怎样学习数学
怎么学习数学呢？数学太难了，我是最怕数学的，我们一家人都怕数学，我认识很多朋友，包括各种各样工作场合，都最怕数学。
所以数学怎么学，是我很苦恼的问题。我是经常在心里面思考这个问题的。
刚才我说了，邱成桐先生认为，微积分是一切高级数学的基本功。但是，微积分怎么学呢？你翻开一本教课书，讲解微积分要用好几百页。
我从 50 年前就开始学微积分了，但是看一些教课书，我看得晕头转向，讲的内容太多了。
许多教科书很烦琐，大家要警惕。所以我们要把微积分学好，不是读万卷书，不是走万里路，而是尽量投机取巧。
我认为学微积分跟学别的数学一样，假传万卷书，真传一案例，把一个案例学好，你就把整个微积分的精神掌握了。
学习微积分用什么案例呢？应该用我们平常生活里经常见到、经常用到的案例。
比如我们经常坐高铁，高铁车厢里头有一个标志显示当前的时速是多少，也就是一小时走多远。速度就是路程除以时间。
我们经过天津站的时候，就显示时速多少，经过大连站时也会显示时速多少。时速是什么意思呢？就是指某一时刻的速度，某一时刻的速度是什么意思？
你看，那个时刻不动，时间等于零，没有时间，火车不能运行，所谓当时的速度，你仔细想想，是一个 0 除以 0 的问题，没有时间，就没有路程。那么路程比时间，速度就是 0 比 0。 0 比 0 的问题是很严重的，使得牛顿这样的大物理学家都觉得伤脑筋。
但是牛顿很聪明，他想出了办法计算 瞬时速度。他设想，火车在很短的时间里，走过很短的距离，因为时间很短，火车没有时间加速，所以它的瞬时速度应该是可以这么计算的，把它变换成一个在很短的时间里面走过的很短路程。
微积分说明书
大家好好想想看，时间很短，火车没有时间加速，所以，速度只有很小的变化，用这个办法来计算，我这里写的，小路程，由 x 点跑到 x + h 点，很短的时间内，瞬时速度变化很小，因为没有时间变化，时间太短了，瞬时速度很小。
瞬时速度 + 小变化，再乘以短时间，小路程是这么算出来的，小路程是瞬时速度 + 小变化，然后再乘以短时间。把它分开，小学的算术学过了，（A+B）×C=A×C+B×C，瞬时速度×短时间 + 小变化×短时间，时间缩短以后，小变化就很小，基本上被消灭掉。
全路程就是小路程加起来，小路程加起来是什么意思呢？就是瞬时速度×短时间，加起来，再加上小变化×短时间，短时间加起就是总时间。
比如说北京到上海是一小时，一小时就是总时间。总时间是固定的，比如说一小时，总时间乘以小变化还是很小，因为时间是固定的，时间不变，就是一小时，乘以小变化，还是小变化。
总而言之，全路程是瞬时速度乘以短时间相加，再加上小变化乘以总时间，小变化乘总时间还是小变化，因为总时间是固定的。
比如说一小时，小变化乘一小时，还是小变化。通常是这样，如果瞬时速度不断走，短时间加起来，积累得很多，就是积分了。这个是等于把小学、中学的数学，到大学换了一个名词。
小学的数学跟大学的数学、初等数学和高等数学，本质的区别不大，但是要换一个称呼，把原来的 相加 变成 积分 了。
这样的话，就变成一个速度×时间的积分，然后加上小变化×总时间。如果时间不断缩短，小变化就没有了，整个就是速度×时间的积分，也就是路程是速度×时间的积分。这样子就是 大学微积分的制高点 了，有了这个制高点就好办了。
以火车的瞬时速度为案例讲这么多，是希望把整个微积分展开在你面前，面对案例要认真分析，认真思考，看以下附录。
从小朋友到年龄大一点的人，都应该把瞬时速度作为我们的思考题，在某一时刻，火车的速度究竟是多少？某一时刻，时间没有变化，速度等于路程除以时间，某一时刻，如果时间没有变化，路程还是那个路程，所以速度应该是 0 比 0。
但是牛顿很聪明，把这个问题变通了，最后变成瞬时速度 + 小变化，再乘以短时间，后面的演算是比较简单的，这样微积分就掌握了。
我强调一下，假传万卷书，真传一案例，所以我们要找真传，不要读很多书。很多人认为应该 走万里路，读万卷书。
我的经验不是这样的，因为我是很笨的人，我读书读得很慢，不可能读万卷书。我读一本书就满头大汗，读几年都读不懂，最后才发现上当了，原来真传只有一个案例。今天要讲的就是从哲学的角度来讲学习方法，你们要记住：假传万卷书，真传一案例。
我想再说一说，我们现在教科书有很大的问题。容许我批评一点，我们的教科书把简单的东西讲得很复杂。能够通过一个案例说清楚的，不讲案例，却讲怎么证明，怎么推导定理，这就是假话。
事实上，证明是靠发明的，定理是靠道理的，所以我们首先应该给学生讲道理，讲发明，而不是讲定理，讲证明。
当我们把道理弄清楚了，多数情况下证明自动就弄清楚了。比如说刚才讲的微积分，把火车瞬时速度的案例搞清楚，证明两行、三行，最多四行就出来了。
现在书上不讲道理，现在的教科书证明刚才这样的一个定理就是一本书。我们在学习时很忌讳不讲发明，只讲证明；不讲道理，只讲定理。
所以我希望数学文化发生改变，变成讲道理的学问，变成讲发明的科学。
其实据介绍说，牛顿是三一学院里的平凡学生，当时伦敦出现瘟疫，他逃到乡间，在乡间思考，苹果打到头上发现了万有引力定律。
不管故事是否真实，但是说明了一个问题，只有在乡间，不在学校里面，不过忙碌的生活，思考才能做出创造。
现在我们的活动太多了，没时间思考。你看小学生参加多少活动、竞赛，中学生的活动更多。
家长要改变自己的做法，让孩子有闲暇的时间，在树下散散步，在湖里游游泳，让他们去思考，去发明，不要整天考试。
考试是一个机器，我也接触了个别的考试能手，我非常佩服他们，他们做题比我快得多，一眨眼就做出来了，但是他们不知道在做什么题。
所以家长们最好不要希望孩子一个个都是考试能手，应该让孩子过平常的生活。天天都可以考试，你从小学考起，中学也考，大学也考，我进大学就考了一百题，一天考一百题。
所以考试很平常，没什么了不得，让他去考，考得好，考不好都不要紧。牛顿之后最伟大的科学家是爱因斯坦，爱因斯坦大学毕业的时候成绩不算好，在专利局做三级科员。
就是这样一个三级科员，一个在大学学的很差的平凡学生，结果做出很大成就。因为他会思考，他反对不思考就进行推理，反对不思考就进行证明，这让他成为继牛顿之后最伟大的科学家。
我们希望各位同学都应该把自己看作一个平凡的人，看作是三级科员，看作是很差的学生，但是我们有正确的学习方法，我们知道案例学习，我们一个案例顶万卷书，这样的话效率其实是很高的。
所以我今天就讲这些，希望一个案例顶万卷书，希望大家学得少，学得好，千万不要图多，嚼不烂，结果什么都懂，又什么都不懂。
一个很有名的故事，一个牧师在布道，牧师越讲越激动，可是观众一片睡着了，我希望你们没有睡着，那就是成功了，谢谢大家！
主持人：非常感谢林老师精彩的报告，如雷贯耳，现在和现场观众朋友们进行互动。
林群：我再补充一句，为了防止很多人攻击我，我首先说，我自己就不懂得数学，我自己学得很差。说实在话，我们这些人都没有成就，哪些人有成就呢？
比如屠呦呦的成就可能很多人都想不到，我相信屠呦呦的智商并不一定很高。我不认识她，我觉得她可能是很平常的人。可是她一辈子钻研了一件事情，少则多，她只做一件事，研究中药——青蒿素。
就这一件事情救了非洲多少万人，这就是她的贡献。谁伟大？还是屠呦呦伟大。BBC 选出 100 年来最伟大的三位科学家，就是爱因斯坦、图灵和屠呦呦。
与观众互动
主持人：接下来进入一个互动的环节，在场的选两个问题，一个小朋友，一个家长，谁想提问，举手。
观众 1：现在这个社会，我认为是比较注重考分的，很多大学，他们都是以考分为准。在工作方面，很多公司也是要看你是从哪个大学毕业。虽然我非常赞同您的观点，数学确实应该去多思考，不应该那样死板。考试那些东西没用，但是对于现在这个社会，还是以考分为主，您对此持什么观点？
林群：最近大家都经常讲到考试的问题，我觉得这个不重要。刚才说的奥赛冠军，当然很厉害，比我不知道厉害多少，我做一年，他可能一下子就做完了。
要知道，他是一个解题能手，但是他没有提出问题的能力，有什么用处呢？你给他这个题做，他给你做，但是他没有想法，所以不要羡慕这些人。
我自己认为，屠呦呦是我们的榜样，玩青蒿素玩了一辈子，玩出了诺贝尔奖。
你说她是天才吗？她是神童吗？所以我们家长要求太低了，就要求孩子考得好，可以找到好职业，这算什么呢？考得好，好职业算什么，真的有贡献的人，就不能仅仅靠考试。
考试很平常，考试没什么的，我告诉你，我进大学，一天考一百道题，考好又怎么样？现在谁问你考多好？
我们很值得追查屠呦呦这个人的经历，究竟她小学、中学、大学学得怎么样，我相信对我们会带来鼓励。
普通人都能学好数学，普通人都有贡献，只要有屠呦呦那样的精神。能做出贡献的不是那些才子佳人，我觉得那些都靠不住。
主持人：谢谢，我理解林老师说数学这个东西，普通人只要努力用功就能学好，考 100 分算不了什么，要有更远大的目标。
林群：考 100 分不算什么，要求不能太低。比如说我进厦门大学的时候，一天做 100 题，你就考了 100 分又算什么？
我后来进中科院，到现在没做什么好工作，我敢这么说自己，我都看不上自己，因为我没有屠呦呦那样的精神。
只是我年纪大知道已经晚了，屠呦呦年轻时就找到了正确的方向。她看中了中草药，最后成功了。
所以家长对你们的孩子，要求要更高，一定不能说仅仅要考得好，找到好职业就行了，好职业算什么？
我们中国还有一个世界名人，研究三体问题的数学家，在世界范围内都很有影响力，大家都认为他是非常了不起的榜样，可是他是一个来自山西的很普通的学生。他的生活也很普通，职业也一般，但是他做得很好。
我们在很好的地方，我 1956 年就在中科院，多好的地方，可是我做出什么成绩来，我看到他，觉得差太远了。像我这样的人，在科学上根本不值一提，为什么呢？家长们，一定要要求高，不能只要求孩子考得好，找到好职业。
主持人：应该再狠一点，不能仅仅要求他们 100 分。
林群：对，我再讲一个。我们都很关心人大，人大开完会，选出很多部长。你看看部长的经历，大部分是从基层出来的，这才是真正的人才。
部长是国家栋梁，大部分人都是小学念得很普通，在农村一步步成长的，然后从科员、科长慢慢锻炼出来，这才是中国真正的人才。
主持人：给大家解释一下，林院士是 30 后，1935 年出生的，跟我爷爷年纪差不多。
林群：我比他爷爷大得多了，我 84 岁。
观众 2：林院士好，主持人好！大家的掌声已经说明了对您的观点的认可，但是在数学上，否定一件事情比肯定一件事情容易很多。
我的问题是，现在的评价制度，或者说分数的评价制度是不好的。我们要引导孩子们去思考，养成思考的习惯或者思维方式，但是我们到底应该怎么做呢？
主持人：您觉得有没有什么更好的方式，比现在的制度更适合我们目前的状况的？
林群：对于这个问题，我是没有经验的，但是我觉得，家长要对孩子管得严，还是应该强调成绩的。
比如说我知道国外一些学生，他们怎么教育孩子呢？他们觉得孩子喜欢什么，就应该鼓励他们做什么。结果这些孩子都去念动物学，因为孩子爱狗，爱猫。
如果孩子喜欢猫，我们家长就让他念猫学，喜欢狗就念狗学，喜欢动物，就去念动物学，都去做动物学，行吗？别的行业谁做呢？
我们中国的家长，让孩子把小学、中学、大学念好，这是基本功，把这个念好，做什么都可以。
不能置之不理，让孩子自动放弃他的教育。小孩不懂学习的重要性，你不逼他，他就无法全面发展，所以还是要逼小孩念书。
只是说，要对小孩要求高一点，要让他思考，不能满足于他考得好，得一点小奖，不能满足于这些雕虫小技。
但是这些很难做到，我们每个人都希望孩子受最好的教育，孩子受最好的教育，不一定能培养出好科学家。
听说过去有一个高考状元，结果去当和尚，当和尚不是不好，但是说明他的发展有限。你学再好有什么用处，最后你没有对社会有贡献。
而像屠呦呦这样的人，对社会贡献非常大，我相信她学得不一定最好，但是她研究青蒿素就能成功。
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