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要实现 ElGamal 数字签名算法，可以按照以下步骤：
- 生成密钥对：
- 选择一个大素数 p 作为模数。
- 选择一个生成元 g，确保 g 是 p 的一个原根。
- 随机选择一个私钥 x，满足 0 < x < p-1。
- 计算公钥 y = g^x mod p。
- 签名：
- 随机选择一个整数 k，满足 0 < k < p-1。
- 计算 r = g^k mod p。
- 计算 e = H(m)，其中 H 是一个哈希函数，用于将消息 m 映射为一个整数。
- 计算 s = (e – x r) k^(-1) mod (p-1)，其中 k^(-1) 是 k 的模逆。
- 最终的签名为 (r, s)。
- 验证：
- 计算 e = H(m)。
- 计算 w = s^(-1) mod (p-1)，其中 s^(-1) 是 s 的模逆。
- 计算 u1 = e w mod (p-1) 和 u2 = r w mod (p-1)。
- 计算 v = (g^u1 * y^u2 mod p) mod (p-1)。
- 如果 v 等于 r，则签名有效；否则，签名无效。
下面是一个 Python 实现的示例代码：
import random
def powmod(a, b, p):
result = 1
while b > 0:
if b % 2 == 1:
result = (result * a) % p
a = (a * a) % p
b = b // 2
return result
def eg_sign(message, p, g, x, k, hash_func):
r = powmod(g, k, p)
e = hash_func(message)
s = ((e - x * r) * powmod(k, -1, p-1)) % (p-1)
return (r, s)
def eg_verify(message, signature, p, g, y, hash_func):
r, s = signature
e = hash_func(message)
w = powmod(s, -1, p-1)
u1 = (e * w) % (p-1)
u2 = (r * w) % (p-1)
v = (powmod(g, u1, p) * powmod(y, u2, p)) % p % (p-1)
return v == r
# 选择一个大素数 p 和生成元 g
p = 107
g = 2
# 随机选择私钥 x
x = random.randint(1, p-2)
# 计算公钥 y
y = powmod(g, x, p)
# 消息
message = "Hello, world!"
# 哈希函数
def hash_func(message):
return hash(message) % (p-1)
# 随机选择 k
k = random.randint(1, p-2)
# 签名
signature = eg_sign(message, p, g, x, k, hash_func)
print("Signature:", signature)
# 验证
valid = eg_verify(message, signature, p, g, y, hash_func)
print("Valid:", valid)注意：这只是一个简单的示例，实际应用中需要使用更大的素数 p 和生成元 g，并选择更安全的哈希函数。
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正文完
